Maths, Liban 2007, Exercice 3 (4 points)

09.06.2007

On considère deux Urnes U₁ et U₂
U₁ contient 17 boules blanches et 3 noires
U₂ contient 1 boule blanche et 19 noires.

On réalise des tirages en procédant comme suit :

Etape 1 : On tire au hasard une boule dans U₁, on note sa couleur et on la remet dans U₁

Etape n >= 2 :

Si la boule tirée à l'étape (n-1) est blanche, on tire au hasard une boule dans U₁, on note sa couleur et on remet dans U₁
Si la boule à (n-1) est noire, on tire au hasard une boule dans U₂, on note sa couleur et on la remet dans U₂

On note A_n l'évenement "le tirage a lieu dans U₁ à l'étape n" et p_n sa probabilité.
On a donc p₁ = 1

=> Surligner avec la souris pour pouvoir voir les réponses ^^

1. Calculer p2.

=> p2 = 17/20 (car p1 = 1, il n'y donc que 2 choix possible : A2 ou son évènement inverse A2(barre)

2. Montrer que pour tout entier naturel non nul, pn+1 = 0.8pn + 0.05. On pourra s'aider d'un arbre pondéré

=> Faisons un arbre : (l'est beau heinnn ? :D)

On en déduit :
p_n+1 = p (An

An+1) U p (An(barre) [inter] p(An+1) )
   = p _An (An+1) * p(An) + p_An(barre)(An+1) * (1 - p(An) )
   = p_n*(17/20 - 1/20) + 0.05        // Avec p(An) = p_n et p_An(barre)(An+1) = 1/20
   = 0.8p_n + 0.05

3. Calculer p₃

p₃ = 0.8 * p₂ + 0.05 = 0.73

4. a) démontrer par récurence que pour tout n € N* , p_n > 0.25

Soit Qn : "pour tout n de N*, p_n > 0.25"

Initialisation : vérifions pour n = 1.
p₁ = 17/20 > 0.25 donc Q₁ est vérifié.

Hérédité : Admettons que :
       p_n > 0.25
<=> 0.8p_n > 0.2
<=> 0.8p_n + 0.05 > 0.25
<=> p_n+1 > 0.25

Q_n+1 est vérifié donc vérifié (blablabla)

b) Démontrer que (p_n) est décroissante.

pn+1 - pn = 0.8 p_n + 0.05 - p_n
                  = 0.05 - 0.2pn

Or : p_n > 0.25
-0.2p_n < -0.05
0.05 - 0.2p_n < 0

donc p_n+1 - p_n < 0 donc (pn) décroissante.

c) En déduire (p_n) convergent vers un réel noté l

p_n décroissante et minoré par 0.25 donc (p_n) converge vers un réel l

d) Justifier que l vérifie l'équation : l = 0.8 l + 0.05. En déduire la valeur de l

On sait que pour tout n de N, p_n+1 = 0.8p_n + 0.05
Or lim_+inf p_n = l    d'ou lim_+inf p_n+1 = l

donc par passage à la limite on a l'égalité : l = 0.8 l + 0.05

d'où l = 0.25